Олімпіада з фізики · 10 клас

Спосіб 1 — момент, коли закінчується n-й вагон

1. Крок 1

   Від старту до моменту, коли повз пасажира пройде кінець $n$-го вагона, поїзд проїде шлях $nL$:

   $$nL=\frac{a{t}_n^2}{2}$$
2. Крок 2Виразимо час
   $$t_n=\sqrt{\frac{2L}{a}}\cdot \sqrt{n}$$
3. Крок 3Позначимо сталий множник $\tau =\sqrt{\frac{2L}{a}}$

   Це час, за який проходить перший вагон. Тоді $t_n=\tau \sqrt{n}$.

   Сам $n$-й вагон проходить від моменту $t_{n-1}$ до моменту $t_n$:

   $$\Delta t_n=t_n-t_{n-1}=\tau \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$$
4. Крок 4Для п'ятого вагона
   $$\Delta t_5=\tau \left(\sqrt{5}-\sqrt{4}\right)=\tau \cdot (2,2361-2)=0,2361\tau$$
5. Крок 5За умовою це 10 с, тож
   $$\tau =\frac{10\text{с}}{0,2361}\approx 42,36\text{с}$$
6. Крок 6Для шістнадцятого вагона
   $$\Delta t_{16}=\tau \left(\sqrt{16}-\sqrt{15}\right)=42,36\text{с}\cdot (4-3,8730)$$

   $$\Delta t_{16}=42,36\text{с}\cdot 0,1270\approx 5,38\text{с}$$

Спосіб 2 — відношення, без проміжного $\tau$

1. Крок 1Поділимо час для 16-го вагона на час для 5-го

   Множник $\tau$ скоротиться:

   $$\frac{\Delta t_{16}}{\Delta t_5}=\frac{4-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-2}=\frac{0,1270}{0,2361}\approx 0,538$$

   $$\Delta t_{16}=0,538\cdot 10\text{с}\approx 5,4\text{с}$$
2. Крок 2Для допитливих: домножимо чисельник і знаменник на спряжені вирази

   Тоді $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$, і відношення дорівнює $\frac{\sqrt{5}+2}{4+\sqrt{15}}$. Це зручно для обчислень без калькулятора.

Спосіб 3 — графік v(t), швидка оцінка

Спосіб 1 — другий закон Ньютона для кожного тіла

1. Крок 1Брусок, вісь OY

   Уздовж OY брусок не рухається, тому сили врівноважені:

   $$N=m_{1}g\cos 30^{\circ }=2\cdot 10\cdot 0,866\approx 17,32\text{Н}$$
2. Крок 2Сила тертя
   $$F_{\text{тер}}=\mu N=0,2\cdot 17,32\approx 3,46\text{Н}$$
3. Крок 3

   Складова сили тяжіння вздовж площини (тягне брусок униз по площині):

   $$m_{1}g\sin 30^{\circ }=2\cdot 10\cdot 0,5=10\text{Н}$$
4. Крок 4Брусок, вісь OX

   (вгору вздовж площини):

   $$m_{1}a=T-10-3,46(1)$$
5. Крок 5Вантаж

   (вісь вниз). Сила тяжіння вантажу $m_{2}g=20$ Н:

   $$m_{2}a=20-T(2)$$
6. Крок 6Додамо рівняння (1) і (2). Натяг $T$ скоротиться
   $$(m_1+m_2)a=20-10-3,46$$$$4\cdot a=6,54$$$$a\approx 1,63{\text{м/с}}^2$$
7. Крок 7Натяг знайдемо з рівняння (2)
   $$T=20-m_{2}a=20-2\cdot 1,63\approx 16,7\text{Н}$$
8. Крок 8Швидкість через 2 с (рух зі спокою)
   $$v=a\cdot t=1,63{\text{м/с}}^2\cdot 2\text{с}\approx 3,3\text{м/с}$$

Спосіб 2 — енергетичний (перевірка швидкості)

1. Крок 1За 2 с система пройде шлях
   $$s=\frac{a{t}^2}{2}=\frac{1,634\cdot 4}{2}\approx 3,27\text{м}$$
2. Крок 2

   Робота всіх зовнішніх сил над системою дорівнює зміні її кінетичної енергії:

   • сила тяжіння вантажу виконує роботу $+20\cdot 3,27\approx 65,4$ Дж;
   • складова сили тяжіння бруска вздовж площини: $-10\cdot 3,27\approx -32,7$ Дж;
   • тертя: $-3,46\cdot 3,27\approx -11,3$ Дж.

   $$E_k=65,4-32,7-11,3\approx 21,4\text{Дж}$$$$\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}=21,4\text{Дж}$$$$v^2=\frac{2\cdot 21,4}{4}\approx 10,7$$

   $$v\approx 3,3\text{м/с}✓$$

Спосіб 1 — через опори

1. Крок 1Паралельне з'єднання

   Кожна лампа отримує свою номінальну напругу $U$, тому працює на номінальну потужність:

   $$P_{\text{пар}}=25+60+100=185\text{Вт}$$
2. Крок 2Послідовне з'єднання

   Опір кожної лампи:

   $$R_1=\frac{U^2}{25},R_2=\frac{U^2}{60},R_3=\frac{U^2}{100}$$
3. Крок 3Загальний опір — сума
   $$R=U^2\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{60}+\frac{1}{100}\right)$$
4. Крок 4Зведемо до спільного знаменника 300
   $$\frac{1}{25}+\frac{1}{60}+\frac{1}{100}=\frac{12}{300}+\frac{5}{300}+\frac{3}{300}=\frac{20}{300}=\frac{1}{15}$$$$R=\frac{U^2}{15}$$
5. Крок 5Загальна потужність при напрузі $U$
   $$P_{\text{посл}}=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2}{U^2/15}=15\text{Вт}$$
6. Крок 6Відношення
   $$\frac{P_{\text{пар}}}{P_{\text{посл}}}=\frac{185}{15}=\frac{37}{3}\approx 12,3$$

Спосіб 2 — «провідності» замість опорів

2) Спосіб 1 — через кількість теплоти

1. Крок 1Кількість теплоти, потрібна для нагрівання до кипіння
   $$Q=cm(t_{\text{кип}}-t_0)$$
2. Крок 2Чайник за час $\tau$ передає теплоту $Q=P\tau$. Прирівнюємо
   $$P\tau =cm(t_{\text{кип}}-0)$$$$\tau =\frac{cm}{P}\cdot t_{\text{кип}}$$
3. Крок 3Множник $\frac{cm}{P}$ однаковий в обох місцях

   Отже, час пропорційний температурі кипіння:

   $$\frac{{\tau }_{\text{гора}}}{{\tau }_{\text{місто}}}=\frac{93}{100}=0,93$$
4. Крок 4Час на горі становить 93 % від часу в місті, тобто менший на
   $$100\%-93\%=7\%.$$

Спосіб 2 — за графіком

Спосіб 1 — рівняння теплового балансу

1. Крок 1Тепловий баланс у кожному з двох випадків
   $$k_1(t_{\text{б}}-20)=k_2(20-(-20))=k_2\cdot 40(1)$$$$k_1(t_{\text{б}}-10)=k_2(10-(-40))=k_2\cdot 50(2)$$
2. Крок 2Поділимо рівність (1) на рівність (2)

   Коефіцієнти $k_1$ і $k_2$ скоротяться:

   $$\frac{t_{\text{б}}-20}{t_{\text{б}}-10}=\frac{40}{50}$$
3. Крок 3За основною властивістю пропорції
   $$50\cdot (t_{\text{б}}-20)=40\cdot (t_{\text{б}}-10)$$
4. Крок 4Розкриваємо дужки
   $$50t_{\text{б}}-1000=40t_{\text{б}}-400$$
5. Крок 5Переносимо $40t_{\text{б}}$ ліворуч, а $1000$ праворуч
   $$50t_{\text{б}}-40t_{\text{б}}=1000-400$$$$10t_{\text{б}}=600$$

   $$t_{\text{б}}=60{}^{\circ }\text{C}$$

Спосіб 2 — віднімання рівнянь: спершу знайдемо, як пов'язані $k_1$ і $k_2$

1. Крок 1Цього разу рівності (1) і (2) не ділимо, а віднімаємо

   Розкриємо дужки зліва:

   $$k_1{t}_{\text{б}}-20k_1=40k_2(1)$$$$k_1{t}_{\text{б}}-10k_1=50k_2(2)$$
2. Крок 2Віднімемо (1) від (2)

   Невідома температура батареї зникає, бо $k_1{t}_{\text{б}}$ є в обох рівностях:

   $$-10k_1-(-20k_1)=50k_2-40k_2$$$$10k_1=10k_2$$$$k_1=k_2$$
3. Крок 3

   Отже, тепло однаково легко проходить від батареї до кімнати і від кімнати назовні. Тоді в рівності (1) коефіцієнти скорочуються:

   $$t_{\text{б}}-20=40$$

   $$t_{\text{б}}=60{}^{\circ }\text{C}$$
4. Крок 4Звідси видно й фізичний зміст

   при $k_1=k_2$ кімната має температуру рівно посередині між батареєю і вулицею, як точка посередині дільника напруги з двох однакових резисторів. Справді, $\frac{60+(-20)}{2}=20$ і $\frac{60+(-40)}{2}=10$ ✓.

Випадок А — збиральна лінза, дійсне зображення

1. Крок 1

   Предмет і зображення по різні боки лінзи, тому відстань між ними — сума:

   $$d+f=54$$
2. Крок 2Збільшення $\Gamma =\frac{f}{d}=0,2$, тобто
   $$f=0,2d$$
3. Крок 3Підставимо в першу рівність
   $$d+0,2d=54$$$$1,2d=54$$$$d=45\text{см}$$$$f=0,2\cdot 45=9\text{см}$$
4. Крок 4Формула тонкої лінзи
   $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{45}+\frac{1}{9}$$
5. Крок 5Спільний знаменник 45
   $$\frac{1}{F}=\frac{1}{45}+\frac{5}{45}=\frac{6}{45}$$

   $$F=\frac{45}{6}=7,5\text{см}$$

Спосіб 2 — «скільки фокусних відстаней до предмета» (для випадку А)