Олімпіада з фізики · 11 клас

Спосіб 1 — спершу струми

1. Крок 1Із формули $P=I^{2}R$ знаходимо струм у кожному досліді
   $$I_1^2=\frac{P}{R_1}=\frac{18}{2}=9,I_1=3\text{А}$$$$I_2^2=\frac{P}{R_2}=\frac{18}{8}=2,25,I_2=1,5\text{А}$$
2. Крок 2За законом Ома для повного кола $\mathcal{E}=I(R+r)$

   Запишемо це для обох дослідів:

   $$\mathcal{E}=3\cdot (2+r)$$$$\mathcal{E}=1,5\cdot (8+r)$$
3. Крок 3ЕРС одна й та сама, тому праві частини рівні
   $$3\cdot (2+r)=1,5\cdot (8+r)$$
4. Крок 4Розкриваємо дужки
   $$6+3r=12+1,5r$$
5. Крок 5Переносимо $1,5r$ ліворуч, а 6 праворуч
   $$3r-1,5r=12-6$$$$1,5r=6$$$$r=4\text{Ом}$$
6. Крок 6Підставляємо в перше рівняння
   $$\mathcal{E}=3\text{А}\cdot (2+4)\text{Ом}=18\text{В}$$
7. Крок 7Струм короткого замикання (зовнішній опір нульовий)
   $$I_{\text{кз}}=\frac{\mathcal{E}}{r}=\frac{18\text{В}}{4\text{Ом}}=4,5\text{А}$$

Спосіб 2 — через рівність потужностей

1. Крок 1Потужність на резисторі: $P=I^{2}R=\frac{{\mathcal{E}}^{2}R}{(R+r{)}^2}$. Потужності рівні, тож
   $$\frac{{\mathcal{E}}^2\cdot 2}{(2+r{)}^2}=\frac{{\mathcal{E}}^2\cdot 8}{(8+r{)}^2}$$
2. Крок 2Скорочуємо ${\mathcal{E}}^2$ і переписуємо як пропорцію
   $$2\cdot (8+r{)}^2=8\cdot (2+r{)}^2$$
3. Крок 3Ділимо обидві частини на 2
   $$(8+r{)}^2=4\cdot (2+r{)}^2$$
4. Крок 4Обидві дужки додатні, тому можна добути корінь
   $$8+r=2\cdot (2+r)$$$$8+r=4+2r$$

   $$r=4\text{Ом}$$
5. Крок 5У загальному вигляді цей шлях дає гарну формулу

   $r=\sqrt{R_1{R}_2}=\sqrt{2\cdot 8}=4$ Ом. Далі ℰ і $I_{\text{кз}}$ знаходимо, як у способі 1.

Спосіб 3 — графік P(R)

Спосіб 1 — рівняння Клапейрона

1. Крок 1Тиск після того, як поставили вантаж

   На поршень зверху тисне атмосфера і вантаж, знизу — повітря в циліндрі. Рівновага:

   $$p_{2}S=p_{0}S+mg$$

   Ділимо на площу:

   $$p_2=p_0+\frac{mg}{S}$$

   Окремо порахуємо, який тиск створює вантаж:

   $$\frac{mg}{S}=\frac{20\text{кг}\cdot 10{\text{м/с}}^2}{2\cdot 10^{-3}{\text{м}}^2}=\frac{200\text{Н}}{0,002{\text{м}}^2}=100000\text{Па}=100\text{кПа}$$$$p_2=100\text{кПа}+100\text{кПа}=200\text{кПа}$$
2. Крок 2Рівняння Клапейрона

   Маса газу стала, тому

   $$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

   Об'єм $V=S\cdot h$, і площа $S$ скорочується:

   $$\frac{p_1{h}_1}{T_1}=\frac{p_2{h}_2}{T_2}$$

   Виражаємо нову висоту:

   $$h_2=h_1\cdot \frac{p_1}{p_2}\cdot \frac{T_2}{T_1}$$

   Підставляємо числа:

   $$h_2=60\text{см}\cdot \frac{100}{200}\cdot \frac{360}{300}$$$$h_2=60\text{см}\cdot 0,5\cdot 1,2=36\text{см}$$
3. Крок 3Зміщення поршня
   $$\Delta h=60\text{см}-36\text{см}=24\text{см}\text{(вниз)}$$
4. Крок 4Густина

   Маса повітря стала, а $\rho =\frac{m}{V}$. Тому густина змінюється обернено до об'єму:

   $$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}\approx 1,67$$

Спосіб 2 — густина з рівняння Менделєєва — Клапейрона

1. Крок 1З рівняння $pV=\frac{m}{M}RT$ отримуємо $\rho =\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}$

   Молярна маса повітря $M$ стала, тому

   $$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{p_2}{p_1}\cdot \frac{T_1}{T_2}$$

   $$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{200}{100}\cdot \frac{300}{360}=2\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{3}$$
2. Крок 2Той самий результат, але без висот

   Тепер висоту можна знайти «навпаки»: $h_2=h_1:\frac{5}{3}=60\cdot \frac{3}{5}=36$ см ✓.

Спосіб 3 — у два етапи

Спосіб 1 — точний

1. Крок 1Як змінюється $g$

   За законом всесвітнього тяжіння

   $$g_0=\frac{GM}{R^2},g_h=\frac{GM}{(R+h{)}^2}$$

   Поділимо одне на одне, і $GM$ скоротиться:

   $$\frac{g_0}{g_h}=\frac{(R+h{)}^2}{R^2}$$
2. Крок 2Як змінюється період

   $T=2\pi \sqrt{l/g}$, довжина та сама, тож

   $$\frac{T_h}{T_0}=\sqrt{\frac{g_0}{g_h}}=\frac{R+h}{R}$$

   На горі період більший у $\frac{R+h}{R}$ раза.

3. Крок 3Що показує годинник

   Годинник рахує коливання, і за кожне коливання стрілки просуваються на $T_0$ (так його налаштовано внизу). За справжній час $t$ маятник зробить $N=\frac{t}{T_h}$ коливань, і годинник покаже

   $$t_{\text{пок}}=N\cdot T_0=t\cdot \frac{T_0}{T_h}=t\cdot \frac{R}{R+h}$$

   Відставання:

   $$\Delta t=t-t_{\text{пок}}=t\cdot \left(1-\frac{R}{R+h}\right)=t\cdot \frac{h}{R+h}$$
4. Крок 4Числа
   $$\frac{h}{R+h}=\frac{\Delta t}{t}=\frac{8}{25200}$$

   За властивістю пропорції:

   $$25200\cdot h=8\cdot (R+h)$$$$25200h=8R+8h$$

   Переносимо $8h$ ліворуч:

   $$25192h=8R$$

   $$h=\frac{8\cdot 6360980}{25192}=\frac{50887840}{25192}\approx 2020\text{м}$$

Спосіб 2 — наближений

1. Крок 1

   Гора значно нижча за радіус Землі ($h\ll R$), тому в знаменнику $R+h\approx R$:

   $$\frac{\Delta t}{t}\approx \frac{h}{R}$$

   $$h\approx R\cdot \frac{\Delta t}{t}=6360980\cdot \frac{8}{25200}\approx 2019\text{м}$$
2. Крок 2Різниця з точною відповіддю лише 1 м, тобто 0,03 %

   На олімпіаді приймають обидва варіанти. Головне — пояснити, чому можна наближати.

Спосіб 1 — через кутову швидкість

1. Крок 1Сила Кулона
   $$F=k\frac{|q_1|\cdot q_2}{r^2}=9\cdot 10^9\cdot \frac{5\cdot 10^{-9}\cdot 4\cdot 10^{-9}}{0,05^2}$$

   Чисельник: $9\cdot 10^9\cdot 5\cdot 10^{-9}\cdot 4\cdot 10^{-9}=180\cdot 10^{-9}=1,8\cdot 10^{-7}$. Знаменник: $0,05^2=0,0025$.

   $$F=\frac{1,8\cdot 10^{-7}}{0,0025}=7,2\cdot 10^{-5}\text{Н}$$
2. Крок 2Кутова швидкість

   За 1 оберт кулька повертається на $2\pi$ радіан, а обертів 2 за секунду:

   $$\omega =2\pi \cdot n=2\pi \cdot 2=4\pi \text{рад/с}\approx 12,57\text{рад/с}$$
3. Крок 3Другий закон Ньютона

   Кулонівська сила надає кульці доцентрового прискорення:

   $$F=m\cdot {\omega }^2\cdot r$$

   Виражаємо масу:

   $$m=\frac{F}{{\omega }^{2}r}$$

   Окремо порахуємо знаменник: ${\omega }^{2}r=16{\pi }^2\cdot 0,05\approx 157,9\cdot 0,05\approx 7,90$ м/с².

   $$m=\frac{7,2\cdot 10^{-5}\text{Н}}{7,90{\text{м/с}}^2}\approx 9,1\cdot 10^{-6}\text{кг}=9,1\text{мг}$$

Спосіб 2 — через період і лінійну швидкість

1. Крок 1Період обертання $T=\frac{1}{n}=0,5$ с. Довжина кола $2\pi r\approx 0,314$ м, тож швидкість
   $$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{0,314\text{м}}{0,5\text{с}}\approx 0,628\text{м/с}$$
2. Крок 2Доцентрове прискорення
   $$a=\frac{v^2}{r}=\frac{0,628^2}{0,05}\approx 7,90{\text{м/с}}^2$$
3. Крок 3І далі так само: $m=\frac{F}{a}\approx 9,1\cdot 10^{-6}$ кг ✓

Спосіб 1 — рівняння координат

1. Крок 1Де і з якою швидкістю предмет у момент випадання

   Куля 5 с рухалася рівноприскорено з місця:

   $$h_0=\frac{a\cdot t_0^2}{2}=\frac{2\cdot 5^2}{2}=25\text{м}$$$$v_0=a\cdot t_0=2\cdot 5=10\text{м/с}\text{(угору)}$$
2. Крок 2Рівняння руху

   Обидва тіла рухаються з прискоренням $g$ униз:

   $$y_{\text{п}}=25+10t-5t^2\text{(предмет)}$$$$y_{\text{м}}=20t-5t^2\text{(м’яч)}$$
3. Крок 3Зустріч

   означає, що координати однакові:

   $$25+10t-5t^2=20t-5t^2$$

   Доданок $-5t^2$ є в обох частинах, тому він скорочується:

   $$25+10t=20t$$$$25=10t$$$$t=2,5\text{с}$$
4. Крок 4Висота зустрічі

   Підставляємо в рівняння м'яча:

   $$y=20\cdot 2,5-5\cdot 2,5^2=50-31,25=18,75\text{м}$$
5. Крок 5Швидкості в момент зустрічі

   ($v=v_0-gt$):

   $$v_{\text{п}}=10-10\cdot 2,5=-15\text{м/с}$$

   $$v_{\text{м}}=20-10\cdot 2,5=-5\text{м/с}$$

   Обидві швидкості від'ємні, тож обидва тіла рухаються вниз: предмет зі швидкістю 15 м/с, м'яч зі швидкістю 5 м/с. Предмет наздоганяє м'яч згори.

Спосіб 2 — у системі відліку, що вільно падає

1. Крок 1Перейдемо в систему відліку, яка падає з прискоренням $g$

   У ній обидва тіла рухаються рівномірно і прямолінійно, бо прискорення $g$ у них однакове і «зникає».

   • Відстань між тілами на початку: 25 м.
   • Швидкість зближення: м'яч летить угору зі швидкістю 20 м/с, предмет — угору зі швидкістю 10 м/с. Різниця $20-10=10$ м/с.

   $$t=\frac{25\text{м}}{10\text{м/с}}=2,5\text{с}$$
2. Крок 2Без жодного квадратного рівняння

   Саме тому $t^2$ у способі 1 скоротився.

Спосіб 1 — сили Архімеда від двох рідин

1. Крок 1Густина куба

   Без води куб плаває, тож сила тяжіння дорівнює силі Архімеда від ртуті:

   $${\rho }_{\text{к}}\cdot V\cdot g={\rho }_{\text{рт}}\cdot \frac{V}{4}\cdot g$$

   Скорочуємо $V$ і $g$:

   $${\rho }_{\text{к}}=\frac{13600}{4}=3400{\text{кг/м}}^3$$
2. Крок 2Рівновага з водою

   Нехай у ртуті частка $x$ об'єму, тоді у воді частка $1-x$. Сила тяжіння дорівнює сумі двох сил Архімеда:

   $${\rho }_{\text{к}}Vg={\rho }_{\text{рт}}\cdot xV\cdot g+{\rho }_{\text{в}}\cdot (1-x)V\cdot g$$

   Скорочуємо $V$ і $g$ та підставляємо числа:

   $$3400=13600x+1000\cdot (1-x)$$

   Розкриваємо дужки:

   $$3400=13600x+1000-1000x$$

   Переносимо 1000 ліворуч і зводимо подібні:

   $$3400-1000=12600x$$$$2400=12600x$$

   $$x=\frac{2400}{12600}=\frac{4}{21}\approx 0,19$$

Спосіб 2 — тиск на грані куба

1. Крок 1

   Нехай ребро куба $a$, площа грані $S=a^2$, а над кубом шар води $H$.

   • Тиск на верхню грань: $p_{\text{верх}}={\rho }_{\text{в}}gH$.
   • Тиск на нижню грань: спершу шар води $H+(1-x)a$, потім ртуть завглибшки $xa$: $p_{\text{низ}}={\rho }_{\text{в}}g(H+(1-x)a)+{\rho }_{\text{рт}}gxa$.
2. Крок 2

   Різниця тисків, помножена на площу, — це виштовхувальна сила:

   $$F=(p_{\text{низ}}-p_{\text{верх}})S={\rho }_{\text{в}}g(1-x)a\cdot S+{\rho }_{\text{рт}}gxa\cdot S$$
3. Крок 3Це та сама сума двох сил Архімеда, що й у способі 1, і шар $H$ скоротився

   Отже, товщина води над кубом не важлива, аби вода його покривала. Звідси й бачимо, чому вода не «притискає» куб: її тиск передається через ртуть і на нижню грань.

Спосіб 3 — готова формула для перевірки

1. Крок 1Розв'язавши рівняння в загальному вигляді, отримуємо
   $$x=\frac{{\rho }_{\text{к}}-{\rho }_{\text{в}}}{{\rho }_{\text{рт}}-{\rho }_{\text{в}}}=\frac{3400-1000}{13600-1000}=\frac{2400}{12600}=\frac{4}{21}$$
2. Крок 2Зміст

   «надлишок» густини куба над водою поділено на «надлишок» ртуті над водою.