Олімпіада з фізики · 8 клас

Задачі та відповіді

1Момент сили, важіль60 Н
2Середня швидкістьПерша ділянка, 360 км/год
3Нерівноплечі терези3 кг
4Відносність руху20 км/год; 6 хв
5Вага, сила Архімеда0,6 Н; 0,3 Н
6Механічна робота840 кДж

Режим самоперевірки: увімкніть «Сховати розв'язки», щоб бачити лише умови. Розв'язок кожної задачі відкривається кнопкою.

Задача 1Механіка

Стрижень і динамометр

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Прості механізми: важіль, момент сили
Тип · складність: Розрахункова · 2/5
Потрібно знати: момент сили $M = F d$ ; правило моментів; лінійне рівняння

Умова

Один кінець стрижня закріплено шарнірно. Вертикальний динамометр утримує його горизонтально й показує 10 Н. Якщо точку прикладання сили динамометра перемістити на 10 см до шарніра, показ становитиме 15 Н. Що покаже динамометр після наступного переміщення на 15 см у тому самому напрямку? Стрижень у всіх положеннях горизонтальний. (10 балів)

Дано

Величина	СІ
$F_{1} = 10$ Н
$F_{2} = 15$ Н
$Δ_{1} = 10$ см	0,10 м
$Δ_{2} = 15$ см	0,15 м

Знайти

F_{3}

Рисунок

Розбираємо умову

Стрижень — це важіль з опорою в шарнірі. Його тягне вниз сила тяжіння, прикладена в центрі мас, а вгору тягне динамометр. Ми не знаємо ні маси стрижня, ні його довжини. Але момент сили тяжіння відносно шарніра однаковий у всіх трьох дослідах, бо стрижень той самий і щоразу горизонтальний. Змінюється лише плече сили динамометра.

Сила шарніра проходить через вісь обертання, тому її момент дорівнює нулю. Через це вона нам не заважає.

Модель і припущення

Стрижень у рівновазі й не обертається, тож сума моментів відносно шарніра дорівнює нулю.
Тертя в шарнірі немає.
Динамометр тягне вертикально, тому його плече — це відстань від шарніра до точки кріплення.

Розв'язання

Спосіб 1 — правило моментів

Крок 1

Позначимо $x$ — початкову відстань від шарніра до динамометра, $M$ — момент сили тяжіння стрижня. З рівноваги:

$F_{1} x = M, F_{2} (x - Δ_{1}) = M, F_{3} (x - Δ_{1} - Δ_{2}) = M .$
Крок 2

Ліві частини перших двох рівностей дорівнюють тому самому $M$ , тому вони дорівнюють одна одній. Підставимо числа ( $x$ — у метрах):

$10 \cdot x = 15 \cdot (x - 0, 1)$
Крок 3Розкриваємо дужки

$10 x = 15 x - 1, 5$
Крок 4Переносимо $10 x$ праворуч, а $1, 5$ ліворуч

$1, 5 = 15 x - 10 x$ $1, 5 = 5 x$ $x = 1, 5 : 5 = 0, 3 м = 30 см .$
Крок 5Тепер знайдемо момент сили тяжіння з першого досліду

$M = F_{1} \cdot x = 10 Н \cdot 0, 3 м = 3 Н \cdot м .$
Крок 6Після двох переміщень плече стало $x_{3} = 30 см - 10 см - 15 см = 5 см = 0, 05$ м

Момент сили тяжіння той самий, отже,

$F_{3} = \frac{M}{x _{3}} = \frac{3 Н \cdot м}{0 , 05 м} = 60 Н .$

Спосіб 2 — обернена пропорційність

Добуток $F \cdot d$ сталий, тому сила обернено пропорційна плечу. Коли сила зросла з 10 до 15 Н, тобто в 1,5 раза, плече зменшилось у 1,5 раза. Тоді $x - 10 = x /1, 5$ , звідки $x = 30$ см. Плечі в трьох дослідах: 30 → 20 → 5 см, а сили: 10 → 15 → $10 \cdot \frac{30}{5} = 60$ Н.

Сценарії

Слова «наступного переміщення» означають, що динамометр зсувають ще на 15 см від другого положення (сумарно на 25 см). Так задачу й розв'язано вище. Якщо учень зрозуміє умову як «на 15 см від початкового положення», отримає

F = 3/0, 15 = 20

Н. Таке прочитання суперечить слову «наступного», але бажано заздалегідь погодити це з журі.

Перевірка

Розмірність: [Н·м]/[м] = [Н] ✓.
Граничний випадок: коли точка кріплення наближається до шарніра ( $x_{3} \to 0$ ), потрібна сила зростає до нескінченності ✓. Це знає кожен, хто відчиняв двері біля завіс.
Правдоподібність. Якщо динамометр спершу стояв на кінці стрижня, то довжина стрижня 30 см, а вага 20 Н, тобто маса 2 кг. Для металевого стрижня це реально ✓.

Відповідь

F_{3} = 60

Типові помилки

Вважати, що сила змінюється лінійно: «+5 Н на кожні 10 см, отже, на 15 см буде +7,5 Н». Насправді сила обернено пропорційна плечу.
Відраховувати 15 см від початкового положення, а не від другого.
Намагатися знайти масу й довжину стрижня. Цього не треба й не можна зробити: досить моменту $M$ .

Як пояснити дитині

«Де легше тримати дошку, біля стіни чи на краю?» «Що в усіх трьох дослідах однакове?» (дошка та її вага). «Що змінюється?» (плече).
Аналогія: колодязний журавель. Що далі від опори тягнеш, то легше.
Дослід: лінійка на олівці-шарнірі й кухонний безмін або гумка. Тягнемо в різних точках і бачимо, як змінюється зусилля.

Схожа задача

Динамометр показує 12 Н. Після зсуву на 5 см до шарніра він показує 16 Н. Що він покаже після ще одного зсуву на 10 см?

Показати відповідь

Відповідь: 48 Н.

Задача 2Механіка

Три ділянки траси

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Механічний рух, середня швидкість
Тип · складність: Розрахункова · 3/5
Потрібно знати: $v_{сер} = \frac{s _{заг}}{t _{заг}}$ , а не середнє арифметичне швидкостей; система трьох лінійних рівнянь

Умова

Трасу поділено на три ділянки однакової довжини. Середня швидкість автомобіля на першій і другій ділянках разом – 200 км/год, на другій і третій – 150 км/год, на третій і першій – 225 км/год. На якій окремій ділянці середня швидкість найбільша? Знайдіть цю швидкість. (10 балів)

Дано

v_{12} = 200

км/год,

v_{23} = 150

км/год,

v_{31} = 225

км/год

s_{1} = s_{2} = s_{3} = s

Знайти

v_{max}

і номер ділянки

Переводити в СІ не потрібно: усі швидкості в км/год, і відповідь теж буде в км/год.

Схема

Розбираємо умову

Довжина кожної ділянки $s$ . Ми її не знаємо, але вона скоротиться. Невідомі — час проходження ділянок $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ . Середня швидкість на двох ділянках дорівнює шляху, поділеному на час: $\frac{2 s}{t _{1} + t _{2}}$ .

Швидкість на першій ділянці вийде 360 км/год. Для звичайного автомобіля це нереально, хіба що для гоночного боліда. Фізику задачі це не псує, але учням варто про це сказати.

Модель

Що відбувається всередині кожної ділянки, неважливо: для середньої швидкості потрібні лише шлях і час.

Розв'язання

Спосіб 1 — система рівнянь для часу

Крок 1Щоб не тягнути всюди букву $s$ , візьмемо зручну довжину ділянки

$s = 900$ км. Відповідь від цього не зміниться, бо швидкість на ділянці не залежить від того, яка вона довга. Число 900 ділиться і на 100, і на 75, і на 225, тому дробів не буде.

Дві ділянки — це 1800 км. Час = шлях : швидкість:

$t_{1} + t_{2} = 1800 : 200 = 9 год$ $t_{2} + t_{3} = 1800 : 150 = 12 год$ $t_{3} + t_{1} = 1800 : 225 = 8 год$
Крок 2Додамо всі три рівності. Кожен час увійде двічі

$2 \cdot (t_{1} + t_{2} + t_{3}) = 9 + 12 + 8 = 29 год$ $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 14, 5 год$
Крок 3

Тепер від загального часу віднімаємо час двох ділянок і отримуємо час третьої:

$t_{3} = 14, 5 - 9 = 5, 5 год$ $t_{1} = 14, 5 - 12 = 2, 5 год$ $t_{2} = 14, 5 - 8 = 6, 5 год$
Крок 4

Найменший час на першій ділянці, отже, там найбільша швидкість:

$v_{1} = 900 км : 2, 5 год = 360 км / год$
Крок 5Для порівняння: $v_{2} = 900 : 6, 5 \approx 138$ км/год, $v_{3} = 900 : 5, 5 \approx 164$ км/год

Для журі краще показати й загальний вигляд: з буквою $s$ виходить $t_{1} = \frac{5 s}{1800}$ , і $v_{1} = \frac{1800}{5} = 360$ км/год, тобто те саме.

Спосіб 2 — «час на один кілометр»

Зручно рахувати не швидкість, а скільки годин іде один кілометр: $k = 1/ v$ . Для двох рівних ділянок середнє значення $k$ дорівнює середньому арифметичному: $k_{12} = \frac{k _{1} + k _{2}}{2}$ . Тоді $k_{1} + k_{2} = \frac{2}{200}$ , $k_{2} + k_{3} = \frac{2}{150}$ , $k_{3} + k_{1} = \frac{2}{225}$ . Отримуємо ту саму систему, але вже без $s$ . $k_{1} = \frac{1}{360}$ год/км, тож $v_{1} = 360$ км/год. Цей спосіб показує, чому швидкості не можна усереднювати арифметично, а «час на кілометр» можна.

Спосіб 3 — швидка оцінка

Пари з першою ділянкою (200 і 225 км/год) швидші за пару без неї (150 км/год). Отже, найшвидша саме перша ділянка, і це видно ще до обчислень.

Сценарії

Сценарій один. Варто перевірити, що всі часи додатні (5, 13 і 11 частин), тобто такий рух можливий.

Перевірка

Ділянки 1 + 2: $1800 : (2, 5 + 6, 5) = 1800 : 9 = 200$ км/год ✓.
Ділянки 2 + 3: $1800 : (6, 5 + 5, 5) = 1800 : 12 = 150$ км/год ✓.
Ділянки 3 + 1: $1800 : (5, 5 + 2, 5) = 1800 : 8 = 225$ км/год ✓.
Розмірність: км : год = км/год ✓.

Відповідь

На першій ділянці;

v_{1} = 360

км/год

Типові помилки

Записати $\frac{v _{1} + v _{2}}{2} = 200$ . Це неправильно: середня швидкість не є середнім арифметичним, і відповідь вийде хибна (275 км/год).
Помилитися у спільному знаменнику (900 або 1800).
Знайти всі часи, але не сказати, на якій ділянці швидкість найбільша. За це знімають бали.

Як пояснити дитині

«Ти йшов до сусіднього села 1 км пішки і 1 км їхав на велосипеді. Чому середня швидкість не дорівнює півсумі?» (Бо пішки ти йшов значно довше.)
«Що в цій задачі легше додавати: швидкості чи час?»
Підказка: «Додайте всі три рівняння. Що вийде зліва?»

Схожа задача

Ті самі три рівні ділянки, середні швидкості на ділянках 1 + 2 — 60, на 2 + 3 — 48, на 3 + 1 — 80 км/год. Знайдіть швидкість на кожній ділянці.

Показати відповідь

Відповідь: 120, 40 і 60 км/год.

Задача 3Механіка

Нерівноплечі терези

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Важіль, правило моментів (метод Гаусса для зважування)
Тип · складність: Розрахункова · 2/5
Потрібно знати: правило рівноваги важеля; квадратний корінь

Умова

Терези врівноважені без тіла та важків. Коли тіло кладуть на ліву шальку, його врівноважують важками загальною масою 2,5 кг на правій. Якщо те саме тіло покласти на праву шальку, потрібні важки масою 3,6 кг на лівій. Визначте справжню масу тіла. Плечі терезів під час зважувань незмінні. На обох рисунках – ті самі терези. Кількість важків не задає додаткових даних. (10 балів)

Дано

m_{1} = 2, 5

кг (важки праворуч, тіло ліворуч)

m_{2} = 3, 6

кг (важки ліворуч, тіло праворуч)

Знайти

m

Рисунок

Розбираємо умову

Покази відрізняються (2,5 і 3,6 кг), отже, терези нерівноплечі: ліве плече $l_{1}$ не дорівнює правому $l_{2}$ . «Врівноважені без тіла та важків» означає, що власні моменти шальок і коромисла вже скомпенсовані, тож їх не враховуємо.

Модель

Коромисло — це важіль. Терези мали б бути рівноплечими, але в цих терезах плечі $l_{1}$ і $l_{2}$ різні. Шальки висять на нитках, тому сила прикладена в точці підвісу.

Розв'язання

Спосіб 1 — правило моментів

Крок 1

$m g l_{1} = m_{1} g l_{2}, m_{2} g l_{1} = m g l_{2} .$
Крок 2 $g$ є в обох частинах, тому його скорочуємо

Підставимо числа:

$m \cdot l_{1} = 2, 5 \cdot l_{2} (1)$ $3, 6 \cdot l_{1} = m \cdot l_{2} (2)$
Крок 3

З рівності (1) виразимо, у скільки разів праве плече довше за ліве:

$\frac{l _{2}}{l _{1}} = \frac{m}{2 , 5}$
Крок 4З рівності (2) — те саме відношення

$\frac{l _{2}}{l _{1}} = \frac{3 , 6}{m}$
Крок 5Ліві частини однакові, отже, праві теж

$\frac{m}{2 , 5} = \frac{3 , 6}{m}$
Крок 6

За основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):

$m \cdot m = 2, 5 \cdot 3, 6$ $m^{2} = 9$

$m = 3 кг$
Крок 7Маса не може бути від'ємною, тому корінь $- 3$ відкидаємо

Заразом знаходимо відношення плечей: $\frac{l _{2}}{l _{1}} = \frac{3}{2 , 5} = 1, 2$ , тобто праве плече в 1,2 раза довше за ліве.

Спосіб 2 — через відношення плечей

Праве плече в $k$ разів довше за ліве. Тоді вантаж праворуч «тягне» в $k$ разів сильніше, ніж такий самий ліворуч.

Перше зважування: тіло ліворуч урівноважують 2,5 кг праворуч, отже, $m = 2, 5 \cdot k$ .
Друге зважування: тіло праворуч урівноважують 3,6 кг ліворуч, отже, $3, 6 = m \cdot k$ .

Підставимо перше в друге: $3, 6 = 2, 5 \cdot k \cdot k$ , звідси $k \cdot k = 3, 6 : 2, 5 = 1, 44$ . Яке число, помножене саме на себе, дає 1,44? Це $k = 1, 2$ . Тоді $m = 2, 5 \cdot 1, 2 = 3$ кг.

Сценарії

Сценарій один. Від'ємний корінь відкидаємо, бо маса додатна.

Перевірка

Граничний випадок: для рівноплечих терезів $m_{1} = m_{2} = m$ , і формула $m \cdot m = m$ це дає ✓.
Відповідь 3 кг лежить між 2,5 і 3,6 кг, як і має бути ✓. Друге рівняння: $3, 6 \cdot 5 = 3 \cdot 6 = 18$ ✓.

Відповідь

m = 3

кг

Типові помилки

Узяти середнє арифметичне $(2, 5 + 3, 6) /2 = 3, 05$ кг. Для майже рівних плечей воно близьке до правильного, але неточне, тому на олімпіаді не зарахують.
Переплутати, яке плече відповідає якому зважуванню, і отримати рівняння, що не скорочуються.
Шукати масу шальок, хоча умова «врівноважені без тіла» знімає це питання.

Як пояснити дитині

«Чому покази різні, якщо тіло те саме?» «Що тоді не так із терезами?»
Аналогія: гойдалка-балансир. Легший сидить далі від середини, і гойдалка врівноважена.
Дослід: лінійка на олівці, опора не посередині, і монети як важки. Зважте ластик з обох боків і порахуйте $m_{1} m_{2}$ .
Історична довідка: так зважував ще Гаусс («метод подвійного зважування»).

Схожа задача

На лівій шальці тіло врівноважують 1,6 кг, на правій — 2,5 кг. Яка маса тіла й відношення плечей?

Показати відповідь

Відповідь: 2 кг, $l_{1} : l_{2} = 4 : 5$ .

Задача 4Механіка

Маршрутки

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Відносність руху, відносна швидкість
Тип · складність: Розрахункова · 3/5
Потрібно знати: швидкість зближення при русі назустріч $v + u$ ; $s = v t$ ; лінійне рівняння

Умова

Маршрутки рухаються з однаковою сталою швидкістю, зберігаючи однакові інтервали. Автомобіліст, який їде назустріч зі швидкістю 40 км/год, зустрічає їх кожні 2 хв; за швидкості 60 км/год – кожні 1,5 хв. Знайдіть швидкість маршруток та інтервал їх проходження повз нерухому зупинку. (10 балів)

Дано

Величина	Зручні одиниці
$v_{1} = 40$ км/год, $t_{1} = 2$ хв	$t_{1} = \frac{1}{30}$ год
$v_{2} = 60$ км/год, $t_{2} = 1, 5$ хв	$t_{2} = \frac{1}{40}$ год

Знайти

u

T

Тут зручніше рахувати в км/год і годинах, ніж у СІ. Відповідь можна потім перевести: 20 км/год ≈ 5,6 м/с.

Рисунок

Розбираємо умову

«Однакові інтервали» означає, що відстань $d$ між сусідніми маршрутками стала. Автомобіліст їде назустріч, тому швидкість зближення дорівнює $v + u$ . Між двома зустрічами він «з'їдає» якраз одну відстань $d$ . Зупинка нерухома, тому повз неї маршрутки проходять через $T = d / u$ .

Модель

Маршрутки — матеріальні точки, що рухаються рівномірно. Зупинками маршруток нехтуємо.

Розв'язання

Спосіб 1 — у системі відліку маршруток

Крок 1

Відносно маршруток автомобіліст рухається зі швидкістю $v + u$ і за час між зустрічами долає відстань $d$ :

$d = (v_{1} + u) \cdot t_{1} і d = (v_{2} + u) \cdot t_{2}$
Крок 2Відстань та сама, отже, праві частини рівні

Щоб не мати дробів, час залишимо у хвилинах (2 і 1,5). Тоді $d$ вийде в «км/год·хв», а в кілометри переведемо наприкінці.

$(40 + u) \cdot 2 = (60 + u) \cdot 1, 5$
Крок 3Розкриваємо дужки

$80 + 2 u = 90 + 1, 5 u$
Крок 4Переносимо $1, 5 u$ ліворуч, а 80 праворуч

$2 u - 1, 5 u = 90 - 80$ $0, 5 u = 10$ $u = 20 км / год$
Крок 5Відстань між маршрутками

швидкість зближення $40 + 20 = 60$ км/год, тобто 1 км за хвилину. За 2 хв це

$d = 1 км / хв \cdot 2 хв = 2 км .$
Крок 6

Повз нерухому зупинку маршрутки проходять зі швидкістю 20 км/год:

$T = \frac{d}{u} = \frac{2 км}{20 км / год} = 0, 1 год = 6 хв .$

Спосіб 2 — «на скільки більше відстані»

Відстань $d$ між маршрутками складається з двох частин: шляху автомобіля і шляху маршрутки за час між зустрічами. Рахуємо в км/год·хв, а потім поділимо на 60.

Перша поїздка: авто проїжджає $40 \cdot 2 = 80$ , маршрутка $2 u$ .
Друга поїздка: авто проїжджає $60 \cdot 1, 5 = 90$ , маршрутка $1, 5 u$ .

Сума однакова, бо це та сама $d$ . Авто в другій поїздці проїхало на 10 більше, отже, маршрутка на 10 менше: $2 u - 1, 5 u = 10$ , звідки $u = 20$ км/год. Цей спосіб показує зміст рівняння «на пальцях».

Спосіб 3 — граничний випадок для перевірки

Якщо автомобіліст стоїть ( $v = 0$ ), він стає «зупинкою». Шукаємо час між маршрутками саме для $v = 0$ . При 40 км/год швидкість зближення 60 км/год і час 2 хв, при 60 км/год — 80 км/год і 1,5 хв. При $v = 0$ зближення 20 км/год, у 3 рази повільніше, ніж при 40, тож час $2 \cdot 3 = 6$ хв ✓.

Сценарії

Сценарій один: автомобіліст їде назустріч (так сказано в умові). Якби він їхав у тому самому напрямку, швидкість зближення була б $v - u$ , і задача мала б інше рівняння.

Перевірка

Друга поїздка: зближення $60 + 20 = 80$ км/год, за 1,5 хв це $80 \cdot \frac{1 , 5}{60} = 2$ км ✓, та сама відстань $d$ .
Правдоподібність: маршрутка в місті 20 км/год, інтервал 6 хв, відстань між маршрутками 2 км. Реально ✓.

Відповідь

u = 20

км/год; маршрутки проходять повз зупинку кожні 6 хв

Типові помилки

Брати відносну швидкість $v - u$ , хоча авто їде назустріч.
Підставляти хвилини разом із км/год без переведення.
Знайти лише швидкість і забути про інтервал $T$ (або дати відстань $d$ замість часу).

Як пояснити дитині

«Ти йдеш назустріч колоні тракторів. Як швидко вони пропливають повз тебе, якщо ти стоїш? А якщо біжиш?»
«Що в обох поїздках однакове?» (відстань між маршрутками).
Аналогія: йдеш по річці проти течії, а повз тебе пропливають гілки, що рівномірно рухаються.

Схожа задача

Велосипедист назустріч автобусам: при 10 км/год зустрічає їх кожні 6 хв, при 20 км/год — кожні 5 хв. Знайдіть швидкість автобусів та інтервал на зупинці.

Показати відповідь

Відповідь: 40 км/год; 7,5 хв.

Задача 5Гідростатика

Куля в склянці

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Вага тіла, закон Архімеда
Тип · складність: Розрахункова з аналізом сценарію · 3/5
Потрібно знати: вага — сила тиску на опору; $F_{A} = ρ_{р} g V_{зан}$ ; умова плавання

Умова

Однорідна куля масою М = 60 г лежить на дні порожньої склянки. У склянку наливають рідину, густина якої у 3 рази більша за густину матеріалу, з якого виготовлена куля. Рідини налили стільки, що об’єм зануреної у рідину кулі у 6 разів менший за об’єм цілої кулі. Вважаючи g = 10 Н/кг, знайдіть:
1) вагу кулі в порожній склянці; (2 бали)
2) вагу кулі у склянці з рідиною. (8 балів)

Дано

Величина	СІ
$M = 60$ г	0,06 кг
$ρ_{р} = 3 ρ_{к}$
$V_{зан} = V /6$
$g = 10$ Н/кг (за умовою)

Знайти

P_{1}

P_{2}

Рисунок

Розбираємо умову

Вага — це сила, з якою тіло тисне на опору (дно), а не сила тяжіння. У порожній склянці вони дорівнюють одна одній. У рідині частину навантаження «знімає» сила Архімеда.

Ключове питання: чи лежить куля на дні, чи вже плаває? Це треба перевірити, а не вгадати.

Модель і припущення

Куля торкається дна в одній точці, і рідина підтікає під неї, тому закон Архімеда виконується повністю. Якби куля була «присмоктана» до дна, як пласке тіло, це було б не так.
Склянка нерухома, рідина в спокої.

Розв'язання

1) Вага в порожній склянці

Крок 1

$P_{1} = M g = 0, 06 кг \cdot 10 Н / кг = 0, 6 Н .$

2) Вага у склянці з рідиною

2) Вага у склянці з рідиною — спосіб 1, через сили

Крок 1

На кулю діють сила тяжіння $M g$ (вниз), сила Архімеда $F_{A}$ (вгору) і сила реакції дна $N$ (вгору). Куля в спокої:

$N = M g - F_{A} .$
Крок 2
Куля тисне на дно з тією самою силою, з якою дно тисне на кулю (третій закон Ньютона), тому вага кулі $P_{2} = N$ .

Знайдемо силу Архімеда. Ні густин, ні об'єму ми не знаємо, але знаємо, як вони пов'язані. Розберемо по кроках:
1. Сила Архімеда дорівнює вазі рідини в об'ємі зануреної частини: $F_{A} = ρ_{р} \cdot g \cdot V_{зан}$ .
2. Занурена шоста частина кулі: $V_{зан} = \frac{V}{6}$ .
3. Рідина втричі густіша: $ρ_{р} = 3 \cdot ρ_{к}$ .
4. Підставляємо: $F_{A} = 3 \cdot ρ_{к} \cdot g \cdot \frac{V}{6}$ . Трійку скорочуємо з шісткою: $F_{A} = \frac{ρ _{к} \cdot V \cdot g}{2}$ .
5. Але $ρ_{к} \cdot V$ — це густина кулі, помножена на її об'єм, тобто маса кулі $M$ . Отже, $F_{A} = \frac{M \cdot g}{2}$ : рідина тримає рівно половину сили тяжіння.
$F_{A} = \frac{0 , 6 Н}{2} = 0, 3 Н$

$P_{2} = M g - F_{A} = 0, 6 Н - 0, 3 Н = 0, 3 Н .$

Спосіб 2 — «яку частку ваги забирає рідина»

Рідина в 3 рази густіша, тому кожен занурений кубічний сантиметр кулі «виштовхує» втричі більше, ніж сам важить. Занурено $\frac{1}{6}$ кулі, отже, рідина тримає $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ ваги. На дно тисне друга половина: $0, 6/2 = 0, 3$ Н.

Сценарії — лежить чи плаває?

Куля плаває, коли рідина тримає всю силу тяжіння: $F_{A} = M g$ . Ми бачили, що при зануренні на $\frac{1}{6}$ рідина тримає половину сили тяжіння. Щоб тримати всю, треба зануритись удвічі глибше: на $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ об'єму.

Рідини мало, $V_{зан} < V /3$ : куля лежить на дні й тисне на нього. Наш випадок: $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$ .
$V_{зан} = V /3$ : куля тільки-но відривається від дна, вага 0.
Рідини ще більше: куля плаває, занурена на третину, і на дно не тисне.

Якби в умові було, скажімо,

V_{зан} = V /2

, розрахунок «

M g - F_{A}

» дав би від'ємну вагу. Це сигнал, що тіло вже спливло.

Перевірка

Розмірність: кг/м³ · Н/кг · м³ = Н ✓.
Граничні випадки: без рідини $F_{A} = 0$ , $P = M g$ ✓. При $V_{зан} = V /3$ отримуємо $P = 0$ ✓.
$0 < P_{2} < P_{1}$ ✓.

Відповідь

P_{1} = 0, 6

Н; 2)

P_{2} = 0, 3

Типові помилки

Вважати вагу масою («вага 60 г») або силою тяжіння навіть у рідині (0,6 Н).
Брати в силі Архімеда об'єм усієї кулі, а не занурену частину.
Підставляти густину кулі замість густини рідини.
Не перевірити, чи куля вже не плаває. За умовою це не так, але журі цінує таку перевірку.

Як пояснити дитині

«Чому каміння в річці легше піднімати під водою, ніж на березі?»
«Хто ще, крім дна, тримає кулю?» «Який об'єм виштовхує рідина?»
Дослід: м'яч або яблуко на кухонних вагах у мисці. Доливайте воду й дивіться, як зменшуються покази, аж до нуля, коли яблуко спливе.

Схожа задача

Куля масою 80 г, густина рідини вдвічі більша за густину кулі, занурено $\frac{1}{4}$ об'єму, $g = 10$ Н/кг. Знайдіть вагу кулі.

Показати відповідь

Відповідь: 0,4 Н.

Задача 6Механіка

Криниця

Паспорт задачі: розділ, тип, що потрібно знати

Розділ: Механічна робота, потенціальна енергія
Тип · складність: Розрахункова · 3/5
Потрібно знати: $A = m g h$ ; маса через густину й об'єм; центр мас однорідного тіла; площа трапеції

Умова

У криниці глибиною 10 м до дна і площею дна 2 м² знаходиться вода висотою 6 м. Яку роботу слід виконати, щоб вичерпати всю воду з криниці? Густина води 1000 кг/м³, g = 10 Н/кг. (10 балів)

Дано

H = 10

м (глибина до дна)

h = 6

м (висота води)

S = 2

м²,

ρ = 1000

кг/м³,

g = 10

Н/кг

Знайти

A

Рисунок

Розбираємо умову

Воду треба підняти до верху криниці, тобто до рівня землі. Різні шари води піднімаються на різну висоту: верхній шар на 4 м, нижній на 10 м. Тому не можна просто помножити $m g$ на 10 м або на 4 м.

Ми шукаємо мінімальну роботу: воду піднімають повільно, без розгону й розливання.

Модель і припущення

Криниця має сталий переріз 2 м², вода однорідна.
Воду піднімаємо до рівня землі й виливаємо там. Кінетичну енергію води, тертя відра й масу відра не враховуємо.

Розв'язання

Спосіб 1 — через центр мас

Крок 1Об'єм води: площа дна × висота води

$V = S \cdot h = 2 м^{2} \cdot 6 м = 12 м^{3} .$
Крок 2Маса води: густина × об'єм

$m = ρ \cdot V = 1000 кг / м^{3} \cdot 12 м^{3} = 12000 кг .$
Крок 3

Робота проти сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії, а її визначає підйом центру мас. Центр мас стовпа води розміщено посередині, на висоті $6 : 2 = 3$ м від дна. Від дна до верху 10 м, тож центр мас лежить на глибині $10 - 3 = 7$ м. Саме на 7 м його й треба підняти. Отже,

$A = m g Δ h = 12000 кг \cdot 10 Н / кг \cdot 7 м = 840000 Дж = 840 кДж .$

Спосіб 2 — графік «вага шару — висота підйому» (без поняття центру мас)

Крок 1Розріжемо воду на тонкі шари

Кожен метр висоти стовпа важить $ρ g S \cdot 1 м = 20000$ Н. Найвищий шар піднімаємо на 4 м, найнижчий на 10 м. Побудуймо графік: по горизонталі — товщина вже вичерпаної води (від 0 до 6 м), по вертикалі — на яку висоту піднімаємо черговий шар (від 4 до 10 м, рівномірно). Під графіком трапеція з основами 4 м і 10 м та висотою 6 м. Робота дорівнює вазі метра стовпа, помноженій на площу цієї трапеції:

$площа трапеції = \frac{4 + 10}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 м^{2}$

$A = 20000 Н / м \cdot 42 м^{2} = 840000 Дж .$
Крок 2Середня висота підйому $(4 + 10) /2 = 7$ м — це й є глибина центру мас

Спосіб 3 — оцінка «вилками»

Якби всю воду піднімали на 4 м, робота була б 480 кДж. Якби на 10 м — 1200 кДж. Шари розподілені рівномірно, тож відповідь лежить рівно посередині: $(480 + 1200) /2 = 840$ кДж ✓.

Сценарії

Якщо воду треба підняти вище, ніж до рівня землі (наприклад, через зруб висотою 1 м до відра), робота збільшиться на

m g \cdot 1 м = 120

кДж і становитиме 960 кДж. За умовою рахуємо до верху криниці: 840 кДж.

Перевірка

Розмірність: кг · Н/кг · м = Н·м = Дж ✓.
Граничні випадки: якщо вода сягає верху ( $h = H$ ), центр мас на глибині $H /2$ . Якщо води шар завтовшки ~0, $Δ h = H$ ✓.
Правдоподібність: 12 т води, і 840 кДж — це приблизно 3 години роботи людини потужністю ~80 Вт. Кожен, хто чистив криницю, підтвердить ✓.

Відповідь

A = 840

кДж

Типові помилки

Брати висоту 10 м (1200 кДж) або 4 м (480 кДж) для всієї води.
Брати центр мас на глибині 3 м (це висота від дна, а не глибина) і отримати 360 кДж.
Помилитися з масою, забувши помножити на площу.

Як пояснити дитині

«Яке відро легше витягти: з верхнього шару води чи з самого дна?» «А в середньому з якої глибини ми тягнемо?»
Аналогія: вичерпувати воду з криниці відром на журавлі або носити дрова на горище з різних поверхів.
Дослід: стос з 6 однакових книжок, які переносимо на полицю. Порахуйте сумарну висоту підйому кожної книжки й порівняйте з «6 книжок × середня висота».

Схожа задача

Криниця глибиною 8 м, площа дна 1,5 м², вода заввишки 4 м. Знайдіть мінімальну роботу.

Показати відповідь

Відповідь: 360 кДж.