Олімпіада з фізики · 9 клас

Спосіб 1 — з конкретним опором

1. Крок 1

   Відповідь не залежить від того, який опір має кільце, бо важливе лише відношення. Тому візьмемо зручне число, яке ділиться і на 3, і на 2: нехай $R=9$ Ом.

2. Крок 2Випадок 1

   Дуги становлять третину і дві третини кільця:

   $$R_a=9:3=3\text{Ом},R_b=9-3=6\text{Ом}.$$
3. Крок 3Вони з'єднані паралельно

   Загальний опір двох паралельних провідників дорівнює добутку, поділеному на суму:

   $$R_1=\frac{3\cdot 6}{3+6}=\frac{18}{9}=2\text{Ом}.$$
4. Крок 4З формули потужності $P=\frac{U^2}{R}$ знайдемо квадрат напруги
   $$U^2=P_1\cdot R_1=108\text{Вт}\cdot 2\text{Ом}=216{\text{В}}^2.$$
5. Крок 5Випадок 2

   По діаметру дві однакові половинки:

   $$R_c=R_d=9:2=4,5\text{Ом}.$$$$R_2=\frac{4,5\cdot 4,5}{4,5+4,5}=\frac{20,25}{9}=2,25\text{Ом}.$$
6. Крок 6Напруга та сама, тому
   $$P_2=\frac{U^2}{R_2}=\frac{216}{2,25}=96\text{Вт}.$$

Спосіб 2 — через пропорцію

1. Крок 1При сталій напрузі потужність обернено пропорційна опору

   у скільки разів більший опір, у стільки разів менша потужність.

   $$\frac{P_2}{P_1}=\frac{R_1}{R_2}$$
2. Крок 2З буквами: $R_1=\frac{\frac{R}{3}\cdot \frac{2R}{3}}{R}=\frac{2R}{9}$, а $R_2=\frac{R}{4}$. Тоді
   $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{2R}{9}:\frac{R}{4}=\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{1}=\frac{8}{9}.$$

   $$P_2=108\cdot \frac{8}{9}=12\cdot 8=96\text{Вт}.$$

Спосіб 3 — швидка перевірка «на здоровий глузд»

Спосіб 1 — рівняння руху

1. Крок 1Коли Audi зупинився?

   8 км зі швидкістю 120 км/год:

   $$t_1=\frac{8\text{км}}{120\text{км/год}}=\frac{1}{15}\text{год}=4\text{хв}.$$

   Audi стоїть на відстані $100+8=108$ км від початкового положення BMW.

2. Крок 2Коли Audi рушив знову?
   $$t_2=4\text{хв}+20\text{хв}=24\text{хв}=0,4\text{год}.$$
3. Крок 3Чи не наздогнав BMW, поки Audi стояв?

   За 0,4 год BMW проїхав

   $$x=160\cdot 0,4=64\text{км}.$$

   64 км менше за 108 км, отже, ні: зустріч буде вже після стоянки.

4. Крок 4Рівняння руху після стоянки

   Audi виїжджає з точки 108 км у момент 0,4 год:

   $$x_{\text{Audi}}=108+120\cdot (t-0,4)$$

   Розкриваємо дужки:

   $$x_{\text{Audi}}=108+120t-48=60+120t$$

   BMW:

   $$x_{\text{BMW}}=160t$$
5. Крок 5Зустріч

   — координати однакові:

   $$160t=60+120t$$

   Переносимо $120t$ ліворуч:

   $$160t-120t=60$$$$40t=60$$$$t=1,5\text{год}.$$

   Місце зустрічі: $x=160\cdot 1,5=240$ км.

6. Крок 6Скільки минуло від зупинки?
   $$\Delta t=1,5\text{год}-4\text{хв}=90\text{хв}-4\text{хв}=86\text{хв}=1\text{год}26\text{хв}.$$

Спосіб 2 — стежимо за відстанню між машинами

Спосіб 3 — «скільки коштувала зупинка»

Спосіб 1 — енергетичний баланс

1. Крок 1Кінетична енергія двох крижинок
   $$E_k=2\cdot \frac{m{v}^2}{2}=m{v}^2.$$
2. Крок 2Теплота, потрібна, щоб нагріти обидві крижинки до 0 °C
   $$Q_1=c\cdot 2m\cdot \Delta t.$$
3. Крок 3Теплота, потрібна, щоб їх розплавити
   $$Q_2=\lambda \cdot 2m.$$
4. Крок 4За законом збереження енергії $E_k=Q_1+Q_2$
   $$m{v}^2=2m\cdot c\Delta t+2m\cdot \lambda$$
5. Крок 5Маса є в кожному доданку, тому ділимо обидві частини на $m$

   Маса скорочується, отже, відповідь від неї не залежить:

   $$v^2=2\cdot (c\Delta t+\lambda )$$
6. Крок 6Рахуємо дужку по частинах. Нагрівання 1 кг льоду на 12 °C
   $$c\Delta t=2100\cdot 12=25200\text{Дж/кг}.$$
7. Крок 7Додаємо плавлення
   $$c\Delta t+\lambda =25200+333000=358200\text{Дж/кг}.$$$$v^2=2\cdot 358200=716400{\text{м}}^2/{\text{с}}^2$$

   $$v=\sqrt{716400}\approx 846\text{м/с}\approx 850\text{м/с}.$$

Спосіб 2 — одна крижинка і «дзеркальна стінка»

1. Крок 1

   Через симетрію площина, де стикаються крижинки, поводиться як нерухома тверда стінка. Тож можна розглянути одну крижинку, яка врізається в стінку і повністю плавиться:

   $$\frac{m{v}^2}{2}=m\cdot (c\Delta t+\lambda )$$
2. Крок 2Ділимо на $m$ і множимо на 2
   $$v^2=2\cdot (c\Delta t+\lambda )$$
3. Крок 3

   Отримали те саме рівняння, тобто ту саму відповідь ≈ 850 м/с.

Спосіб 3 — швидка оцінка

Спосіб 1 — умова плавання для двох рідин

1. Крок 1Густина дошки

   Дошка плаває, тому сила Архімеда дорівнює силі тяжіння. Нехай $S$ — площа дошки. Тоді

   $${\rho }_{\text{д}}\cdot g\cdot S\cdot H={\rho }_{\text{в}}\cdot g\cdot S\cdot 0,7H$$

   Скорочуємо $g$, $S$ і $H$:

   $${\rho }_{\text{д}}=0,7\cdot 1000=700{\text{кг/м}}^3.$$
2. Крок 2Нова рівновага

   Нехай $x$ — глибина дошки у воді. У нафті перебуває шар 1 см (уся товщина нафти). Сила тяжіння дорівнює сумі двох сил Архімеда:

   $${\rho }_{\text{д}}\cdot g\cdot S\cdot H={\rho }_{\text{в}}\cdot g\cdot S\cdot x+{\rho }_{\text{н}}\cdot g\cdot S\cdot h_{\text{н}}$$

   Скорочуємо $g$ і $S$, підставляємо числа (висоти в сантиметрах):

   $$700\cdot 5=1000\cdot x+800\cdot 1$$$$3500=1000x+800$$

   Переносимо 800 ліворуч:

   $$3500-800=1000x$$$$2700=1000x$$$$x=2,7\text{см}.$$
3. Крок 3Висота над нафтою

   Від товщини дошки віднімаємо частину у воді й частину в нафті:

   $$h=5-2,7-1=1,3\text{см}.$$

Спосіб 2 — «що додала нафта»

1. Крок 1До появи нафти у воді було $0,7\cdot 5=3,5$ см дошки

   Нафтовий шар 1 см «тримає» так само, як $0,8$ см води (нафта легша за воду: $800:1000=0,8$). Значить, у воді тепер потрібно на 0,8 см менше:

   $$x=3,5-0,8=2,7\text{см}.$$
2. Крок 2Над нафтою: $5-2,7-1=1,3$ см ✓

   Цікаво: над поверхнею води дошка тепер виступає на $5-2,7=2,3$ см, а раніше на 1,5 см. Тобто нафта підняла дошку на 0,8 см.

Спосіб 1 — рівняння теплового балансу

1. Крок 1Скільки теплоти потрібно льоду?

   Тільки на плавлення:

   $$Q_{\text{отр}}=\lambda \cdot m_{\text{л}}=333000\cdot 0,1=33300\text{Дж}.$$
2. Крок 2Скільки теплоти віддає 1 кг пари?

   Спершу при конденсації:

   $$r=2260000\text{Дж/кг},$$
3. Крок 3потім, коли вода охолоджується від 100 °C до 0 °C
   $$c\cdot \Delta t=4200\cdot 100=420000\text{Дж/кг}.$$
4. Крок 4Разом кожен кілограм пари віддає
   $$2260000+420000=2680000\text{Дж/кг}.$$
5. Крок 5Тепловий баланс

   пара віддає стільки, скільки отримує лід:

   $$2680000\cdot m_{\text{п}}=33300$$$$m_{\text{п}}=\frac{33300}{2680000}\approx 0,0124\text{кг}=12,4\text{г}.$$
6. Крок 6Скільки води стало?

   Розтоплений лід плюс сконденсована пара:

   $$m_{\text{води}}=100\text{г}+12,4\text{г}=112,4\text{г}\approx 112\text{г}.$$

Спосіб 2 — «скільки льоду розтопить 1 грам пари»

1. Крок 11 г пари віддає 2680 Дж (у 1000 разів менше, ніж кілограм)

   Щоб розтопити 1 г льоду, треба 333 Дж. Отже, 1 г пари розтоплює

   $$2680:333\approx 8,05\text{г льоду}.$$
2. Крок 2Щоб розтопити 100 г, потрібно $100:8,05\approx 12,4$ г пари ✓. Води: ≈ 112 г

Спосіб 1 — правило моментів і квадратне рівняння

1. Крок 1

   Для кожного зважування момент сили ліворуч дорівнює моменту праворуч:

   $$mg{l}_1=m_{1}g{l}_2,m_{2}g{l}_1=mg{l}_2.$$
2. Крок 2$g$ є в обох частинах, тому його скорочуємо

   Підставимо числа:

   $$m\cdot l_1=2,5\cdot l_2(1)$$$$3,6\cdot l_1=m\cdot l_2(2)$$
3. Крок 3З рівності (1) виразимо відношення плечей
   $$\frac{l_2}{l_1}=\frac{m}{2,5}$$
4. Крок 4З рівності (2) — те саме відношення
   $$\frac{l_2}{l_1}=\frac{3,6}{m}$$
5. Крок 5Ліві частини однакові, отже, праві теж
   $$\frac{m}{2,5}=\frac{3,6}{m}$$
6. Крок 6За основною властивістю пропорції
   $$m\cdot m=2,5\cdot 3,6$$$$m^2=9$$
7. Крок 7Це неповне квадратне рівняння

   Його корені $m=3$ і $m=-3$. Маса не може бути від'ємною, тому

   $$m=3\text{кг}.$$
8. Крок 8Заразом знаходимо відношення плечей

   $\frac{l_2}{l_1}=\frac{3}{2,5}=1,2$, тобто праве плече в 1,2 раза довше за ліве.

Спосіб 2 — середнє геометричне

1. Крок 1У загальному вигляді з (1) і (2) виходить $m^2=m_1\cdot m_2$, тобто $m=\sqrt{m_1{m}_2}$

   Таке число називають середнім геометричним. Його корисно запам'ятати як результат методу подвійного зважування:

   $$m=\sqrt{2,5\cdot 3,6}=\sqrt{9}=3\text{кг}.$$

Спосіб 3 — через відношення плечей